\(v=20\sqrt{2}\sin(\omega t+\frac{\pi}{3})[V]\)를 복소수로 표시하면?

① \(10(\sqrt{3}+j1)\)

② \(10(1+j\sqrt{3})\)

③ \(10+j5\)

④ \(10(1+j2)\)

핵심 해설

정답은 ②입니다. 최댓값이 \(20\sqrt{2}\)이므로 실효값은 20V이고, 위상각 \(\pi/3=60^\circ\)이므로 복소수는 \(20(\cos60^\circ+j\sin60^\circ)=10(1+j\sqrt{3})\)입니다. 따라서 ‘\(10(1+j\sqrt{3})\)’이(가) 문제에서 요구하는 선택지입니다.

학습 포인트

이 문항은 정현파 전압의 페이저 복소수 표현을 평가합니다. 교류회로에서 정현파를 페이저로 바꾸는 능력은 임피던스 계산과 전압·전류 위상 해석의 기본입니다.

선지별 해설

문제의 핵심 단서는 ‘\(v=20\sqrt{2}\sin(\omega t+\frac{\pi}{3})[V]\)를 복소수로 표시하면’입니다. 이 단서는 정현파 전압의 페이저 복소수 표현의 정의, 기준 또는 계산식과 연결하여 판단하여야 합니다.
적용 기준은 다음과 같습니다. 최댓값이 \(20\sqrt{2}\)이므로 실효값은 20V이고, 위상각 \(\pi/3=60^\circ\)이므로 복소수는 \(20(\cos60^\circ+j\sin60^\circ)=10(1+j\sqrt{3})\)입니다.
그러므로 최종 답은 ② ‘\(10(1+j\sqrt{3})\)’입니다. 다른 선택지는 이 기준과의 대응 관계 또는 계산값이 달라 정답이 되지 않습니다.
① [X] 이 선택지는 계산값과 일치하지 않습니다. 이 값은 실수부와 허수부가 바뀐 형태로, 60°가 아니라 30° 성분에 해당합니다.
② [O] 이 선택지는 계산값과 일치합니다. 실효값 20V와 위상 60°를 반영하면 \(10+j10\sqrt{3}\), 즉 \(10(1+j\sqrt{3})\)이 됩니다.
③ [X] 이 선택지는 계산값과 일치하지 않습니다. 10+j5는 크기와 위상 모두 주어진 정현파와 일치하지 않습니다.
④ [X] 이 선택지는 계산값과 일치하지 않습니다. 10(1+j2)는 허수부가 \(10\sqrt{3}\)이어야 하는 조건과 맞지 않습니다.

암기 팁

\(V_m\sin(\omega t+ heta)\)는 먼저 실효값 \(V_m/\sqrt{2}\)로 바꾸고, 그 다음 \(V(\cos heta+j\sin heta)\)로 표현하시면 됩니다.

맞춤 꼼수

\(20\sqrt{2}\)가 보이면 실효값은 20입니다. \(60^\circ\)에서는 \(\cos60=1/2\), \(\sin60=\sqrt3/2\)이므로 실수부 10, 허수부 \(10\sqrt3\)을 찾으십시오.

AI로 작성된 해설입니다.

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