그림과 같은 회로에서 a, b단자에 흐르는 전류 I가 인가전압 E와 동위상이 되었다. 이때 L 값은?

① \(\frac{R}{1+\omega CR}\)

② \(\frac{R^2}{1+(\omega CR)^2}\)

③ \(\frac{CR^2}{1+\omega CR}\)

④ \(\frac{CR^2}{1+(\omega CR)^2}\)

핵심 해설

R과 C의 병렬 임피던스는 \(Z_p=R/(1+j\omega CR)\)이고 허수부는 \(-\omega CR^2/[1+(\omega CR)^2]\)입니다. 여기에 직렬 인덕터의 \(j\omega L\)을 더해 허수부를 0으로 두면 \(L=CR^2/[1+(\omega CR)^2]\)가 됩니다.

학습 포인트

이 문항은 R-C 병렬회로와 직렬 인덕터가 결합된 교류회로에서 위상 조건을 이용해 인덕턴스를 구하는 내용을 평가합니다. 전류와 전압의 동위상 조건은 전체 임피던스의 허수부가 0이 되는 조건과 연결되므로 역률 보상과 공진 해석에서 중요합니다.

선지별 해설

전류 I가 인가전압 E와 동위상이라는 것은 전체 임피던스의 리액턴스 성분이 0이라는 의미입니다.
병렬 RC 부분의 임피던스는 \(\frac{R}{1+j\omega CR}\)로 정리되며, 허수부는 용량성으로 음의 값을 가집니다.
직렬 인덕터의 \(\omega L\)이 그 용량성 허수부를 상쇄하여야 하므로 \(L=\frac{CR^2}{1+(\omega CR)^2}\)이고 정답은 ④입니다.
① [X] 분자와 분모의 차원이 인덕턴스 조건과 맞지 않고, 병렬 RC 임피던스의 제곱항 \((\omega CR)^2\)도 반영되어 있지 않아 부적절합니다.
② [X] 분자에 \(R^2\)만 있어 커패시턴스 \(C\)가 빠져 있으므로 \(L\)의 차원과 맞지 않습니다.
③ [X] 분자 \(CR^2\)는 맞지만 분모에 \((\omega CR)^2\)가 빠져 병렬 RC의 정확한 임피던스 해석과 일치하지 않습니다.
④ [O] 병렬 RC의 허수부와 직렬 인덕터의 허수부를 상쇄하면 \(L=CR^2/[1+(\omega CR)^2]\)가 되므로 적절합니다.

암기 팁

교류회로에서 ‘전압과 전류가 동위상’이면 전체 리액턴스가 0이라는 뜻입니다. 병렬 RC는 \(1+(\omega CR)^2\) 형태가 자주 나타납니다.

맞춤 꼼수

L을 묻는 선택지에서 단위가 맞는지 먼저 보시면 좋습니다. \(CR^2\)는 초·옴 형태로 인덕턴스 차원과 연결되고, 정확식에는 \((\omega CR)^2\)가 포함됩니다.

AI로 작성된 해설입니다.

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