X재와 Y재를 소비하는 어떤 소비자의 효용함수가 $U = X^{1/3}Y^{2/3}$이고, $P_Y$는 $P_X$의 2배이다. 효용극대화 행동에 관한 설명으로 옳은 것은? (단, $P_X, P_Y$는 각 재화의 가격이며, $MU_X, MU_Y$는 각 재화의 한계효용이다.)

① 두 재화의 수요량은 같다.

② 소득이 증가할 경우 소비량의 증가분은 X재가 Y재보다 더 작다.

③ Y재의 가격이 하락하면 X재의 수요량이 증가한다.

④ 현재 소비조합에서 $\frac{MU_X}{MU_Y}$가 $\frac{1}{2}$보다 작다면 X재의 소비를 늘려야 한다.

⑤ 만약 두 재화의 가격이 같다면 두 재화의 수요량도 같다.

핵심 해설

선지별 해설

콥-더글라스 효용함수의 지출 비중 공식: - $U = X^{\alpha}Y^{\beta} \rightarrow$ 소득 $M$ 중 X재에 항상 $\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ 비율만큼 지출하고, Y재에 $\frac{\beta}{\alpha+\beta}$ 비율만큼 지출한다. - 본 문제에서 $\alpha = 1/3, \beta = 2/3$ 이므로: - X재 지출액: $P_X X = \frac{1}{3}M \rightarrow X = \frac{M}{3P_X}$ - Y재 지출액: $P_Y Y = \frac{2}{3}M \rightarrow Y = \frac{2M}{3P_Y}$ - 조건에서 $P_Y = 2P_X$ 이므로 $Y$ 식에 대입하면: $Y = \frac{2M}{3(2P_X)} = \frac{M}{3P_X}$ - 따라서 $X = Y = \frac{M}{3P_X}$ 이므로 두 재화의 최적 수요량은 완벽히 일치한다.
① [O] 지출 비중과 가격 조건 대입 시 $X = Y$가 도출되므로 올바르다.
② [X] 수요함수가 동일하므로 소득 증가에 따른 소비량 증가분도 X재와 Y재가 완전히 동일하다.
③ [X] 콥-더글라스 효용함수에서 타 재화의 가격 변화는 자신의 수요에 아무런 영향을 주지 않는다(교차탄력성 = 0).
④ [X] 이율대등 조건 $\frac{MU_X}{MU_Y} > \frac{P_X}{P_Y} = \frac{1}{2}$ 이어야 X재를 늘리며, 작다면 한계대체율이 가격비율보다 작으므로 X재 소비를 줄이고 Y재 소비를 늘려야 균형으로 회귀한다.
⑤ [X] 가격이 같으면 지출 비중이 $\alpha : \beta = 1 : 2$ 이므로 Y재 소비량이 X재보다 2배 많아지게 되므로 같지 않다.

핵심 정리

콥-더글라스 효용함수($U = X^a Y^b$)의 지출점유율 성질($X^* = \frac{a}{a+b}\frac{M}{P_x}$)과 가격 비율 대입을 통한 자원 배분 분석 능력을 측정한다.

최종 결론

AI로 작성된 해설입니다.

← 이전 문제 다음 문제 →

← 이전 문제

다음 문제 →