효용극대화를 추구하는 소비자 A의 효용함수가 $U = 4X^{1/2}Y^{1/2}$ 일 때, 이에 관한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, A는 모든 소득을 X재와 Y재의 소비에 지출한다. P_X와 P_Y는 각각 X재와 Y재의 가격, MU_X와 MU_Y는 각각 X재와 Y재의 한계효용이다.)

① X재와 Y재는 모두 정상재이다.

② $P_X = 2P_Y$ 일 때, 최적 소비조합에서 $MU_X = 0.5MU_Y$를 충족한다.

③ $P_X = 2P_Y$ 일 때, 최적 소비조합은 $Y = 2X$의 관계식을 충족한다.

④ 한계대체율은 체감한다.

⑤ Y재 가격이 상승하여도 X재 소비는 불변이다.

핵심 해설

정답은 ②이다. 효용극대화 조건인 한계대체율 균등 법칙($MRS_{XY} = rac{MU_X}{MU_Y} = rac{P_X}{P_Y}$)에 의하여, $P_X = 2P_Y$ (즉 가격비 $rac{P_X}{P_Y} = 2$)인 상황에서는 $rac{MU_X}{MU_Y} = 2 \rightarrow MU_X = 2MU_Y$ 가 충족되어야 옳다. (0.5배가 아니다.)

선지별 해설

콥-더글라스 효용함수($U = X^{\alpha} Y^{eta}$)의 수리적 정리:
최적 소비 배분 비율: 각 재화에 소득의 일정 지분 비율($rac{\alpha}{\alpha+eta}$)을 고정 지출한다. (지수가 동일한 0.5이므로 소득을 X와 Y에 정확히 반반씩 지출함)
교차탄력성: 타 재화 가격 변동이 내 재화 소비에 영향을 안 주므로 교차 탄력성은 0이다 (⑤는 참).
한계대체율: $MRS_{XY} = rac{Y}{X}$ 이며, X재 소비 증대 시 체감한다.
가격 적용: $P_X \cdot X = P_Y \cdot Y \rightarrow 2P_Y \cdot X = P_Y \cdot Y \rightarrow Y = 2X$ (③은 참)
① [X] 소득 증가 시 소득의 고정 비중으로 X, Y 소비가 늘어나므로 두 재화 모두 전형적인 정상재이다.
② [O] 한계대체율 균등화 공식에 의하여 한계효용 비는 $MU_X = 2MU_Y$ 여야 수리적으로 성립한다.
③ [X] 두 재화 지출액이 동등하므로 ($2P_Y \cdot X = P_Y \cdot Y$) 최종 $Y = 2X$가 유도되어 참이다.
④ [X] 무차별곡선이 원점에 대해 볼록한 형태를 띠므로 한계대체율이 체감한다.
⑤ [X] X재 소비량은 오직 X재 가격과 본인 소득에 의해서만 결정되므로 교차탄력성이 0이 되어 성립하는 유효 기술이다.

핵심 정리

최종 결론

AI로 작성된 해설입니다.

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